Bertrand Russell paradoksları: Matematikte çelişki var mıdır?

Geçen yüzyılın başlarında matematiği sarsan, hatta derin bir krize sokan paradokslar… İngiliz filozof Bertrand Russell, matematiğin temellerinin değişmesine neden olan paradoksu bulmuştu…

Bertrand Russell paradoksları: Matematikte çelişki var mıdır?

Yamyam Paradoksu (Çatışkısı)

Bilinen bilmecedir. Yamyamlar bir mantıkçı yakalarlar ve şöyle derler mantıkçıya:

– Biz her yakaladığımız yabancıyı yeriz. Kimini haşlayıp, kimini kızartıp yeriz. Avımıza bir soru sorarız. Avımız soruyu doğru yanıtlarsa haşlarız, yanlış yanıtlarsa kızartırız.

Dedikleri gibi de yaparlar. Mantıkçıya bir soru sorarlar. Mantıkçı bir süre düşündükten sonra soruyu yanıtlar. Yanıtı duyan yamyamlar ne yapacaklarını şaşırırlar. Yanıt öylesine akıllı bir yanıttır ki, yamyamlar mantıkçıyı ne haşlayabilirler ne de kızartabilirler. Yamyamlar mantıkçıya ne sormuşlardır ve mantıkçı soruyu nasıl yanıtlamıştır?

Yamyamlar mantıkçıya şu soruyu sormuşlardır:

– Seni haşlayıp da mı yiyeceğiz, yoksa kızartıp da mı yiyeceğiz?

Mantıkçı şöyle yanıtlamıştır:

– Kızartacaksınız!

Bu soru ve yanıt ile mantıkçı ne haşlanır, ne de kızartılır. Neden mi?

Bir an, mantıkçının kızartılacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı doğru olur. Ama yanıt doğru olduğundan -yamyamların kendi kurallarına göre- mantıkçının haşlanması gerekmektedir. Demek ki mantıkçı kızartılamaz.
Şimdi de mantıkçının haşlanacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı yanlış olacak. Yanıt yanlış olduğundan da kızartılması gerekmektedir. Demek ki mantıkçı haşlanamaz.

Yamyamlar tam bir kısır döngüye girmişlerdir. Kızartsalar haşlamaları gerekecek, haşlasalar kızartmaları! Sonuç olarak mantıkçı kurtulur.

Yanıtın doğruluğu ya da yanlışlığı, yanıtın yanlışlığı ya da doğruluğuna bağlıdır.

Bu gibi durumlar “paradoksal” olarak nitelendirilir. “Saçma” bir durumdur. Çünkü mantıkçı ya kızartılacaktır ya da haşlanacaktır; bunu önceden biliyoruz. Dolayısıyla yamyamların sorduğu soruya yanıt olarak iki seçenek vardır. Ve böyle bir sorunun yanıtı ya doğru ya da yanlış olmalıdır. Oysa yukarıdaki sorunun yanıtı ne doğru, ne de yanlıştır; daha doğrusu yanıt doğruysa yanlış, yanlışsa doğrudur. Yani yanıtın doğruluğu ya da yanlışlığı yanıtın yanlışlığı ya da doğruluğuna bağlıdır!

Yukardaki paradoks nasıl çözülür, yani çelişki nasıl giderilir? Şöyle: öyküde anlatıldığı gibi bir boy yoktur. Yani, yakaladıkları her yabancıyı yiyen ve yukardaki yöntemle yiyen bir boy yoktur.
Bu çözüme kimi okur karşı çıkabilir. Matematikçileri elindeki oyuncağı sevmeyip kıran, bilmecesini çözemeyip yırtan mızıkçı çocuklara benzetebilir. Ama bu matematikçilere haksızlık olur. Şöyle düşünelim: Bilmecede şu ve şu özelliklere sahip bir boy vardır diyoruz. Öyle bir boyun olabileceğinden ilk başta kuşku duymayabiliriz, ancak görüyoruz ki böyle bir boyun varlığı bizi çelişkiye götürüyor .

Berber Paradoksu

Köyün birinde bir berber varmış. Bu berber, o köyde kendini traş etmeyen herkesi traş edermiş, kendini traş edenleriyse traş etmezmiş.

Soru şu: Bu berber kendini traş eder mi, etmez mi?

Kendini traş etmezse, kendini traş etmeyen herkesi traş ettiğinden, kendini traş etmeli. Kendini traş ederse, kendini traş edenleri traş etmediğinden, kendini traş etmemeli.

Çözüm yukarıdaki gibi: Böyle bir berber olamaz.

Kataloglar Paradoksu

Bu yüzyılın başında matematikçileri derin düşüncelere düşüren paradoksa geçmeden önce, günlük dilimizi kullanarak bir paradoks daha geçelim:

Baskı makinesinin bulunuşundan sonra kitap sayısı çoğaldı doğal olarak. İlk kez ne zaman kataloglara gereksinim duyuldu bilmiyorum, ama bir gün gereksinim duyuldu. Kitaplar çoğalınca, kataloglar da çoğaldı. Kataloglar çoğalınca katalogların da katalogları yapılmaya başlandı.

Bazı kataloglar kendi adlarını dizelgelerine (listelerine) almıyorlardı, bazı kataloglarsa alıyorlardı. (Katalog da bir kitap değil midir!) Bir yayıncının aklına “kendi adını içermeyen kataloglar katalogu” yapmak gelir. Bir sorun çıkar ortaya. Bu hazırlanmakta olan katalog kendi adını içermeli midir, içermemeli midir? Kendi adını içerirse, katalogun türünden dolayı, adını içermemesi gerekmektedir. Kendi adını içermezse de, yine katalogun türünden dolayı, kendi adını içermesi gerekmektedir.

Bir paradoks daha! Nasıl çözeceğiz? Hazırlanması bitmemiş bir katalogun katalog sayılamayacağını önermek bir çözüm müdür? Değildir (ama çözüme yaklaşır), çünkü hazırlanmakta olan katalogun adını “kendi adını içermeyen, yayımlanmış ya da hazırlanmakta olan kataloglar katalogu” diye değiştirirsek paradoks ortadan kalkmış olmaz.

Biz şu çözümü önereceğiz: Böyle bir katalog yapılamaz. Yukardaki çozümlerde de olduğu gibi tanımlanan nesnenin olamayacağını öne sürdük.

Giritli Epimenides

M.Ö. 6. yüzyılda yaşamış Giritli filozof Epimenides’in, “Bütün Gritliler yalancıdır,” sözü ünlüdür. Epimenides doğru mu konuşur, yalan mı?

Epimenides’in paradoksu, Epimenides’in olmadığı öne sürülerek çözülemez elbette! Bu paradoks iki varsayımdan kaynaklanmaktadır:

a) Her insan ya yalancıdır ya değildir.

b) Yalancılar her zaman yalan söylerler, yalancı olmayanlar hep doğruyu söylerler.

Bu varsayımlarımız yanlış. Çünkü bu varsayımlara göre Epimenides ne yalancı olabilir, ne de olmayabilir. Bir kez daha çözdük paradoksu.

Yukarıdaki paradoksların ortak yönü

Yukarıdaki paradoksların her birinde özne kendinden söz ediyordu. Birinci paradoksta, mantıkçı kızartılacağını ileri sürüyordu. İkinci paradokstaki berber, tüm köylülerle, dolayısıyla kendisiyle de ilgili bir sav ortaya atıyordu. Üçüncü paradokstaki katalog tüm kataloglarla, dolayısıyla kendisiyle de ilgili. Dördüncü paradokstaki Giritli Epimenides ise tüm Giritlilerle, dolayısıyla kendisiyle de ilgili bir tümce söylüyor.

Daha ciddi bir paradoks. Giritli Epimenides’in paradoksuna çok benzer bir paradoks daha vardır. “Bu tümce yanlıştır” tümcesini ele alalım. Tümce kendisinden söz ediyor ve çelişki yaratıyor. Bu paradoksu “böyle bir tümce yoktur” diyerek çözümleyemeyiz. Tümce ortada! Ne yapmalıyız? Konumuz felsefe değil ve bu paradoksun yarattığı felsefî sorunları filozoflara bırakalım. Konumuz matematik ve görüldüğü gibi eğer “bu tümce yanlıştır” tümcesine benzer bir tümce matematiksel dilde yazılabilirse matematiğin çelişkili olduğu ortaya çıkar.

Ne mutlu matematikçilere ki günümüzde çoğunluk tarafından kabul edilen matematikte, “bu tümce yanlıştır” tümcesine benzer bir tümcenin yazılamayacağı Polonyalı matematikçi Alfred Tarski tarafından kanıtlanmıştır. Bundan matematiğin çelişkisiz olduğu çıkmaz elbet, yalnızca buna benzer bir çelişkiye matematikte rastlanmadığı anlaşılır.

Son yıllarda ortaya çıkan puslu mantıkta her önerme doğru ya da yanlış olmak zorunda değildir.

Puslu mantığa göre yüzde 50, yüzde 60 gibi doğruluk değerleri olan önermeler de vardır. Örneğin, yukarıdaki gibi doğruysa yanlış, yanlışsa doğru olan bir önermeyi ele alalım. Klasik mantıkta doğru önermeye “1” değeri, yanlış önermeye ise “0” değeri verilir. Dolayısıyla, eğer tümcemizin değerine p dersek şöyle bir sonuç çıkar:

p = 1 ise p = 0’dır
p = 0 ise p = 1’dır.

Soldaki p’ye “eski p” diyelim ve pe olarak gösterelim. Sağdaki p’ye “yeni p” diyelim ve py olarak gösterelim. Demek ki:

pe = 1 ise py = 0’dır
pe = 0 ise py = 1’dır.

Cebirsel olarak, bu:

py = 1 – pe demektir.

Oysa biz bir tek p istiyoruz. “Yeni p”, “eski p” gibi ayrım istemiyoruz. O zaman pe = p = py olsun. Yukardaki
py = 1 – pe denkleminden p = 1 – p denklemini buluruz. Ne p = 0 ne de p = 1 bu denklemin çözümü olduğundan, klasik mantıkta çelişki çıkar. Oysa puslu mantık bunu kendine dert edinmez.

p = 1 – p denkleminin çözümü vardır: p = 1/2.

Dolayısıyla, puslu mantıkta “bu tümce yanlıştır” tümcesinin doğruluk değeri 1/2’dir.

Matematikte çelişki

“Matematikte çelişki” kavramı tarih boyunca değişmiştir. Yunanlılar, √2 sayısının kesirli sayı olmadığını anlayınca, önce çelişkinin doğada var olduğunu sanmışlar, daha sonra omuz silkip kesirli olmayan sayıların varlığını kabul etmek zorunda kalmışlardır.

Dinsel ve felsefî inançların da matematikçileri çelişkide bıraktığı olmuştur. Örneğin, sonsuz kavramı birçok matematikçiyi “çelişkiye” düşürmüştür. Zenon’un ünlü paradokslarının her biri “sonsuz” kavramından kaynaklanmıştır.

İnanç ve sezgilerle matematiğin çelişmesi, günümüzdeki anlamıyla, matematikte bir çelişki değildir. Bugünkü anlamıyla matematikte çelişki, matematiksel bir tümcenin hem doğruluğunun, hem de yanlışlığının kanıtlanmasıdır.

Örneğin bugün matematikte kabul edilen belit (aksiyom) ve kanıtlama yöntemleriyle 2 ≠ 2 tümcesini kanıtlayabilirseniz o zaman bir çelişki elde etmiş olursunuz (çünkü “2 = 2” tümcesi matematikte bilinen bir teoremdir!)

Matematikte çelişki var mıdır?

Bu soru matematikçileri uzun yıllar zorlamıştır. 1930 yılı dolaylarında Kurt Gödel matematikte çelişkinin olmadığını kanıtlamamızın olanaksız olduğunu kanıtlamıştır. Gödel’in bu teoreminden matematikte çelişki olmadığı sonucu çıkmaz. Gödel yalnızca matematiğin çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını kanıtlamıştır.
Yazımızın geri kalan bölümünde sonradan giderilen matematiksel bir çelişkiyi (paradoksu) konu edeceğiz.

Russell Paradoksunun Tarihçesi

Bertrand Russell

Yukarıda sözünü ettiğimiz paradoksların bir benzerini ünlü matematikçi ve filozof Bertrand Russell 1901’de, daha henüz 28 yaşındayken bulmuştur. O günün matematiğinin çelişkiden yoksun olmadığını gösteren bu paradoks, tahmin edileceği gibi matematikçileri sarsmış ve onları matematiğin temelleri üzerine daha derin düşünmeye zorlamıştır.

Russell paradoksunun ortaya çıkışı oldukça trajiktir. Yazmadan edemeyeceğim. Modern mantığın kurucularından sayılan Alman matematikçi ve mantıkçı Frege 1893’te Aritmetiğin Temelleri adlı ünlü yapıtının birinci cildini yayımlamıştır. Bu yapıtında Frege aritmetiği sağlam temellere dayanan bir kümeler kuramına indirgemek istemiştir. İkinci cildin yazılması oldukça zaman alır. Belki de bu gecikmenin nedeni çok karmaşık ve matematikçilerin alışık olmadıkları bir dilde yazılan birinci cildin Frege’in umduğu ve görmesi gereken ilgiyi görmemesidir.

1902’de yapıtın ikinci cildinin yazılması tamamlanmış ve baskıya verilmiştir. İşte tam bu sırada, 54 yaşındaki Frege, 30 yaşındaki Russell’dan “Sevgili Meslektaş” diye başlayan 16 Haziran 1902 tarihli bir mektup alır. Bu mektupta Russell, Aritmetiğin Temelleri’nin birinci cildini okuduğunu, çok yararlandığını, çok sevdiğini belirtir. Frege’i göklere çıkarır, ikinci cildi dört gözle beklediğini söyler. Mektubun ortalarında da bulduğu paradoksu açıklar.

Frege mektubu okuduğunda uğradığı düş kırıklığının boyutunu tahmin etmek zor olmasa gerek. Çok emek verdiği baskıdaki yapıtı ve yaşamını adadığı, temelini kurduğunu sandığı bilim birden yok olup gitmiştir. Kitabını baskıdan çekip temel değişiklikler yapması için çok geçtir. Bir sonsöz yazmakla yetinmek zorunda kalır. Frege, Russell’ın mektubunu 22 Haziran 1902 günü yanıtlar, yani Russell’ın mektubunu yazdığı günden tam altı gün sonra. Bu çok ilginç mektuptan alıntılar sunmak istiyorum:

Sevgili meslektaş,

16 Haziran tarihli ilginç mektubunuz için çok teşekkür ederim. Benimle çoğu konuda aynı düşüncede olmanıza ve çalışmamı ayrıntılarıyla tartışmak istemenize sevindim. İsteğiniz üzerine aşağıda adlarını bulacağınız yayınlarımı yolluyorum […]

Sizin elinizle yazıldığını sandığım boş bir zarf geldi postadan. Galiba bana bir şey göndermek istemiştiniz ve o şey yanlışlıkla kayboldu. Eğer kuşkum doğruysa inceliğiniz için teşekkür ederim. Zarfın ön yüzünü mektubuma iliştiriyorum.

[…]

Bulduğunuz çelişki beni çok büyük şaşkınlığa, belki büyük üzüntüye demek daha doğru olur, uğrattı, çünkü, aritmetik kuramını dayandırdığım temeli sarstı. Bana öyle geliyor ki […] beşinci kuralım yanlış (20. bölüm, sayfa 36), 31. bölümde sunduğum açıklamalar yeterli değil. Durum öylesine ciddi ki, 5. kuralın yanlışlığı, salt öne sürdüğüm temeli sarsmakla kalmıyor, galiba aynı zamanda aritmetiğin sağlam bir temele dayandırılamayacağını da gösteriyor. […] Her durumda buluşunuz çok önemli ve şimdilik bir müjde niteliğini taşımasa da ilerde mantıkta büyük ilerlemelere neden olabilir.

[…]

Grundgesetze’nin ikinci cildi yakında çıkacak. Kitabın sonuna bulduğunuz çelişkiden sözeden bir ek yazacağım elbet. Keşke doğru görüş açısına zamanında sahip olsaydım.

Saygılarımla,
G. Frege

Frege kitabının sonsözünün başında şöyle yazar:

Bir biliminsanı için, yapıtı biter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç bir şey düşünülemez. Yapıt tam baskıya hazırlanırken Bay Bertrand Russell’dan aldığım bir mektup beni işte bu duruma soktu. (Kaynak: Ali Nesin / Matematik Dünyası 2003 RUSSELL PARADOKSU)


Matematik ve kutsal metinlerde 40 sayısının önemi

Türk Matematik tarihinde Salih Zeki Bey

Sağ ve Sol Beyin Testi: Beyninizde hangi lobu daha iyi kullanıyorsunuz?